Forskning

Jag forskar inom matematik och tillämpad matematik. Min forskning ligger inom icke-kommutativ analys och geometri på gränssnitt av algebra, geometri och analys och deras tillämpningar med anknytning till andra ämnen.

Generella diskretiseringar av deriveringar (vektorfält) med allmän dynamisk styrning av diskretiseringssteg

Här undersöker vi dels de bakomliggande algebraiska strukturerna för sådana diskretiseringar dels deras tillämpningar och generaliseringar. Våra arbeten från 2003-2004 i denna inriktning citeras av andra forskare världen över som arbeten som lagt grund till nytt växande område inom algebra numera kallat ”Hom-algebra structures”.  Området utvecklas av forskare och deras doktorander i Frankrike, USA, Kina, Luxemburg, Algeriet, Tunisien och Norge. Huvudresultaten, ramverk, nya begrepp och algebraiska objekt som vi införde har grundläggande betydelse och är uppenbarligen av stort intresse utanför algebra, bland annat för analys av generella dynamisktstyrda diskretiseringar av differentialekvationer och integralekvationer och relaterade strukturer i topologi och differentialgeometri, waveletanalys och harmonisk analys på fraktaler och algebraiska metoder för dynamiska och iterativa funktionssystem, samt för utveckling av nya klasser av adaptiva metoder inom numerisk analys och beräkningsteknik, tidsserier för komplexa stokastiska system, och vidareutveckling av nya dynamisktstyrda diskreta modeller inom fysik och teknik. Därför anser jag att forskningen om ”Hom-algebra structures” inom analys, dynamiska system, numeriska metoder och tillämpningar har stor potential.

Kommuterande operatorer i samspel med algebraisk geometri och icke-linjära ekvationer

Här undersöker vi utvidgningar av Burchnall-Chaundy teorin om algebraisk beroende av kommuterande differentialoperatorer till diskretiseringar av differentialoperatorer och andra operatorer, samt kommuterande element i bakomliggande algebraiska strukturer. Vidare forskning inom denna inriktning kan leda till utveckling av nya metoder för icke-linjära differential- och differensekvationer och till utvidgning av samspel mellan icke-linjära ekvationer och algebraisk geometri för algebraiska kurvor och varieteter till andra typer av ekvationer än differentialekvationer.   

Kommutativa delalgebror i icke-kommutativa algebror och operatoralgebror

Här undersöker vi kommutativa och maximal kommutativa delalgebror i icke-kommutativa algebror, von Neumann algebror, C*-algebror, Banach och andra normerade algebror. Särskilt fokus lägger vi på samspel mellan kommutativa delalgebror, ideal och egenskaper av dynamiska system och verkan av grupper och semigrupper för icke-kommutativa algebror av kryssproduktstyp som innefattar både egenskaper av rum och av dynamiska system, grupper eller semigrupper verkande på rummet. Våra resultat inom denna inriktning bidrar till forskning kring flera kända öppna problem så som Dixmiers problemen inom icke-kommutativ algebra, Kadison-Singer problem inom operator algebror, Feichtingers förmodan om ”frames” inom waveletanalys och vidareutveckling av djupa samspelet mellan operatoralgebror, dynamiska system, waveletanalys och fraktal geometri. 

Teorin för matrismonotona, matriskonvexa, operatormonotona och operatorkonvexa funktioner (Löwner teori) och interpolationsteori  

Klasser av matrismonotona och operatormonotona funktioner (Pick funktioner) och matriskonvexa och operatorkonvexa funktioner utgör en naturlig utvidgning av monotona och konvexa funktioner till funktioner av matriser och operatorer på hilbertrum med avseende på ordningsrelationen på matriser och operatorer. Våra resultat i denna inriktning handlar om 30 år gammal problem att bevisa existens och explicit konstruera funktioner som ligger i gapen mellan dessa funktionsklasser för matriser i olika dimensioner. Vi har visat att det är möjligt att konstruera oändligt många funktioner och till och med polynom sådana att de ligger i gapen mellan klasserna med hjälp av lösningar till det så kallade trunkerade momentproblemet. En explicit metod som vi utvecklat bygger på fördjupad analys av Hankel matriser och explicita lösningar av momentproblem och leder därmed till konkreta sätt att studera hur dessa klasser av funktioner skiljer sig från varandra och relaterar till andra viktiga funktionsrum.  Bland annat har vi studerat samspel mellan dessa klasser av funktioner och interpolationsrum. Samspel mellan matrismonotona, matriskonvexa, operatorkonvexa och operatormonotona funktioner (Pick funktioner) och interpolationsrum från interpolationsteori har viktiga samband med flera inriktningar inom operatoralgebra och icke-kommutativ geometri. Matrismonotona och matriskonvexa funktioner har dessutom intressanta tillämpningar inom ekonomi och finans (riskaversion, m m) och kvantberäkningar och kvantinformationsteori och interpolationsrum är viktiga för optimering, differentialekvationer och icke-kommutativ geometri. Vidare forskning om explicita konstruktioner av matriskonvexa och matrismonotona funktioner baserad på momentproblem och samspel med interpolation kan leda till utveckling av nya metoder inom dessa tillämpningsområden samt lösningar av flera öppna problem om inklusioner av funktionsrum.      

Jag forskar också om tillämpningar av ovanstående metoder och resultat inom     

Informationsteknik och datavetenskap

Matrisanalys, Markovkedjor och grafteori baserat metoder och algoritmer för internet och databas sökmotorer och för relevansrankning av information (sidrankning algoritmer och andra relaterade algoritmer) samt deras tillämpningar i text mining och maskininlärning.

Kvantdatorer, kvantinformation och kvantberäkningar (särskilt metoder baserade på matrisanalys, operatorteorin och algebra)
 

Medicinsk informatik, bioinformatik och relaterade områden

Matematiska metoder och algoritmer för datorbaserad analys av medicinska texter och medicinska terminologiska resurser baserat på kombination av NLP (Natural language processing), grafteori och matrisanalys.

Matematiska metoder för finansiella och ekonomiska modeller

Matrisanalys, Markovkedjor, differentialekvationer och differensekvationer och stokastisk modellering för prediktion av beteende och krascher på finansiella marknader, finansiell optimering, riskanalys och modellering på finansmarknader.

Fysik och relaterade områden

Utveckling av matematiska metoder och algoritmer baseratde på matrisanalys, reglerteknik och diskretiseringar av differentialekvationer för analys av komplexa fysik system.

Sedan min anställning som Professor i Matematik/Tillämpad matematik och ämnesföreträdare vid Mälardalens högskola i mitten av 2011 har jag också arbetat med

  1. utveckling av samverkan mellan matematik och de etablerade strategiska forskningsområden vid Mälardalens högskola.
  2. utveckling av forskningskontakter och samarbete med kolleger inom Akademin för utbildning, kultur och kommunikation och vid andra akademier vid Mälardalens högskola.
  3. förstärkning av forskningsbas och forskningsanknytning för matematiska och andra utbildningsprogram på Mälardalens högskola genom utökning av samverkan inom forskning och utbildning mellan Matematik och andra ämnen.