Forskning

Icke-associativa algebror:

Jag är intresserad i synnerhet av klassifikationsteori för ändligtdimensionella divisionalgebror och enkla algebror. En divisionsalgebra är en algebra med egenskapen att vänster- och högermultiplikation varje nollskilt element är bijektiva avbildningar. De mest klassiska exemplen på divisionsalgebror är de komplexa talen C, kvaternionerna H och oktonionerna O, av dimension två, fyra respektive åtta över de reella talen. Trots att de ändligtdimensionella associativa divisionalgebrorna över R klassificerades redan år 1878 (varje sådan algebra är isomorf med antingen R, C eller H), så är klassifikationsproblemet för allmänna, icke-associativa divisionsalgebror över R långt ifrån löst.

 

Ett sätt att angripa problemet har varit att studera divisionsalgebror som uppfyller någon svagare typ av villkor än associativitet, exempelvis alternativitet, definierat av ekvationerna x(xy)=x2y och (yx)x=yx2, eller potensassociativitet, som betyder att varje underalgebra som genereras av ett enskilt element är associativ. En annan angreppsvinkel använder sig av representationsteori. Man utgår från att en divisionsalgebra A kan ses som en modul över den så kallade derivationsalgebran av A, och använder dess egenskaper som modul för att dra slutsatser om dess struktur som algebra. Denna metod är mycket användbar för divisionsalgebror med många symmetrier (avspeglat i en stor automorfigrupp, vilket även betyder att derivationsalgebran är stor) men ger mindre information om algebror med få eller inga symmetrier.