Stokastiska processer på heltalspartitioner; asymptotiska former och omsättningar på topplistor

Stokastiska processer på heltalspartitioner är ett forskningsprojekt vid Mälardalens högskola (MDH) med syftet att besvara frågor som hur stor är omsättningshastigheten på topplistor? Detta görs genom att studera de processer som vi erhåller genom att göra en gemensam generalisering av Simons, Rosts och Morans modeller.

Heltalspartitioner är bland de matematiska objekt som är allra enklast att förstå. Det rör sig helt enkelt om olika sätt att dela upp ett heltal som en summa av heltalsdelar. T.ex. är 4+3 och 3+2+1+1 två olika partitioner av heltalet 7.

Ett mycket vanligt sätt att representera heltal är så kallade Youngdiagram, där delarna (sorterade i fallande storleksordning) motsvaras av rader av rutor. Heltalspartitioner kan användas för att modellera många olika företeelser, t.ex. städers storlekar ordnade i storleksordning.

Ekonomipristagaren Herbert Simon gjorde en gång en berömd modell av städers tillväxt där sannolikheten att en ny individ flyttar till en viss stad är proportionell mot stadens storlek (och med en viss liten sannolikhet bildar individen istället en ny stad). I Youngdiagrammet motsvaras det av att en ruta i taget läggs in på slutet av någon rad (med omsortering vid behov) som väljs med sannolikhet proportionell mot radlängden. Med en viss liten sannolikhet får den nya rutan istället bilda en egen rad.

 

För denna process kan man ställa sig två frågor som vi ska studera i detta projekt. För det första, om man tittar på topplistan över de L största städerna, hur stor är omsättningshastigheten på denna lista? För det andra, om man ständigt skalar ner diagrammet i längd- och breddled så att arean hålls konstant när populationen växer, vilken form får då diagrammet för riktigt stora befolkningar? Simons process är stokastisk - den har ett element av slump i var den nya rutan placeras. Sannolikheten för en viss rad var proportionell mot längden på raden. Om man definierar sannolikheten i detta slumpmoment på andra sätt får man andra processer med andra utfall. Till exempel kan man välja att istället placera rutan i ett slumpvis valt "inre hörn" i Youngdiagrammet (de inre hörnen är helt enkelt de platser på ett Youngdiagram där man man placera en ruta och fortfarande ha ett välformat diagram). Om man gör på det sättet får man istället en annan berömd process associerad med Hermann Rost, som använts som modell i statistisk fysik (med rutorna representerande partiklar). Vi kan också alternera mellan att rutor tillkommer och att de försvinner, en så kallad födelse-och-dödsprocess. Om vi utgår från Herbert Simons process och efter varje nyfödd ruta låter en slumpvis vald ruta dö, då får vi en process som används i matematisk populationsgenetik under namnet Morans modell (med oändligt många alleler).

I det här projektet studerar vi en hel familj av sådana födelse- och födelse-och-dödsprocesser som vi erhåller genom att göra en gemensam generalisering av Simons, Rosts och Morans modeller. För denna familj av processer ska vi undersöka de två frågor som nämndes ovan: För det första, hur stor är omsättningshastigheten på topplistor? Detta är intressant i tillämpningar när processerna modellerar något verkligt förlopp för vilket det finns data över tid, såsom i kulturell och genetisk evolution. För det andra, vilken blir den asymptotiska formen på diagrammen för olika processer? Detta är intressant främst ur ett matematiskt perspektiv, och knyter an till en spännande tradition av forskning på asymptotiska former hos Youngdiagram som startades av den ryska matematikern Vershik på 1980-talet.

Forskningsmiljö: Matematik och Tillämpad matematik.

Forskargrupp: Diskret matematik med Spelcentrum

Projektansvarig: Prof. Kimmo Eriksson

Huvudfinansiär: Vetenskapsrådet